题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x2,y2)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.
答案
(1)由抛物线的焦点F(0,1)可得p=2
故所求的抛物线的方程为x2=4y…(3分)
(2)由导数的几何意义可得过P的切线斜率k=y′|x=x1=
1 |
2 |
∴切线方程为y-y1=
1 |
2 |
∵准线方程为y=-1.
在切线方程中,令y=-1…(5分)
可得s=
x1 |
2 |
2 |
x1 |
又s在[1,4]单调递增
∴s的取值范围是-
3 |
2 |
3 |
2 |
(3)猜测直线PQ恒过点F(0,1)…(11分)
由题得P(x1,
| ||
4 |
| ||
4 |
要证点P、F、Q三点共线,只需证kPF=kQF,即证x1x2=-4…(13分)
由(2)知s=
x1 |
2 |
2 |
x1 |
x2 |
2 |
2 |
x2 |
x1 |
2 |
2 |
x1 |
x2 |
2 |
2 |
x2 |
∴
x1-x2 |
2 |
2 |
x1 |
2 |
x2 |
2(x2-x1) |
x1x2 |
∵x1≠x2
∴x1x2=-4
∵KPF=
| ||
x1 |
x12-1 |
4x1 |
x22-1 |
4x2 |
(-
| ||
4(-
|
1-x12 |
-4x1 |
x12-1 |
4x1 |
从而可知点P、F、Q三点共线,即直线PQ恒过点F(0,1)…(15分)
核心考点
试题【已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x1,y1)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).(】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF1的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.
|
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
4 |
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M.
①求证:直线MP经过一定点;
②试问:是否存在以(m,0)为圆心,
3
| ||
5 |
(Ⅰ)若过点C1(-1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为
6 |
5 |
(Ⅱ)圆D是以1为半径,圆心在圆C3:(x+1)2+y2=9上移动的动圆,若圆D上任意一点P分别作圆C1的两条切线PE,PF,切点为E,F,求
C1E |
C1F |
(Ⅲ)若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长,则动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
3 |
x2 |
4 |
3 |
A.4 | B.8 | C.12 | D.16 |
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