题目
题型:不详难度:来源:
4 |
1+cos∠MPN |
(1)求P的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点,并且曲线C存在点Q,使四边形OAQB为平行四边形?若存在,求出平行四边形OAQB的面积;若不存在,说明理由.
答案
∵点M(-1,0),N(1,0),动点P(x,y)满足:|PM|•|PN|=
4 |
1+cos∠MPN |
∴
(x+1)2+y2 |
(x-1)2+y2 |
4 | ||||||
1+
|
整理,得
x2 |
3 |
y2 |
2 |
∴P的轨迹C的方程为
x2 |
3 |
y2 |
2 |
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由题意知l的斜率一定不为0,∴设l:x=my+1,
代入椭圆方程整理得(2m2+3)y2+4my-4=0,
△=16m2+16(2m2+3)>0.
y1+y2=-
4m |
2m2+3 |
4 |
2m2+3 |
假设存在点Q,使得四边形OAQB为平行四边形,
其充要条件为
OQ |
OA |
OB |
则点P的坐标为(x1+x2,y1+y2).
由点Q在椭圆上,即
(x1+x2)2 |
3 |
(y1+y2)2 |
2 |
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.
又A、B在椭圆上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.
∴2x1x2+3y1y2=3…②
将x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1代入,
由①②解得m=±
| ||
2 |
当m=
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
从而x1=0,x2=
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
| ||
2 |
∴
OA |
2 |
OB |
3 |
2 |
| ||
2 |
∴cos∠AOB=
| ||||
|
|
|
3 | ||
|
OA |
OB |
3 |
2 |
2 |
同理当m=-
| ||
2 |
3 |
2 |
2 |
综上,存在满足条件的点P,使得四边形OAPB为平行四边形,
且该平行四边形的面积为
3 |
2 |
2 |
核心考点
试题【已知点M(-1,0),N(1,0),动点P(x,y)满足:|PM|•|PN|=41+cos∠MPN,(1)求P的轨迹C的方程;(2)是否存在过点N(1,0)的直】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
y2 |
2 |
(1)求直线AB的方程;
(2)求弦长|AB|的值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆的方程;
(2)设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,若|AF1|-|BF2|=
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
2 |
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)是否存在常熟λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值,若不存在,请说明理由.
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