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题目
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
答案
(1)双曲线C1
x2
1
2
-
y2
1
=1
左顶点A(-


2
2
,0
),
渐近线方程为:y=±


2
x.
过A与渐近线y=


2
x平行的直线方程为y=


2
(x+


2
2
),即y=


2
x+1

所以





y=-


2
x
y=


2
x+1
,解得





x=-


2
4
y=
1
2

所以所求三角形的面积为S=
1
2
|OA||y|=


2
8

(2)设直线PQ的方程为y=kx+b,
因直线PQ与已知圆相切,故
|b|


2
=1

即b2=2,由





y=kx+b
2x2-y2=1

得x2-2bx-b2-1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则





x1+x2=2b
x1x2=-1-b2

又y1y2=(x1+b)(x2+b).
所以


OP


OQ
=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-1-b2)+2b2+b2
=b2-2=0.
故PO⊥OQ.
(3)当直线ON垂直x轴时,|ON|=1,|OM|=


2
2
,则O到直线MN的距离为


3
3

当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|>


2
2
),
则直线OM的方程为y=-
1
k
x
,由





y=kx
4x2+y2
=1





x2=
1
4+k2
y2=
k2
4+k2

所以|ON|2=
1+k2
4+k2

同理|OM|2=
1+k2
2k2-1

设O到直线MN的距离为d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2
所以
1
d2
=
1
|OM|2
+
1
|ON|2
=
3+3k2
k2+1
=3,
即d=


3
3

综上,O到直线MN的距离是定值.
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(0,4),离心率为
3
5

(1)求C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线被C所截线段的长度.
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在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0
(1)设动点P满足(


PF
+


PB
)(


PF
-


PB
)=13
,求点P的轨迹方程;
(2)设x1=2,x2=
1
3
,求点T的坐标;
(3)若点T在点P的轨迹上运动,问直线MN是否经过x轴上的一定点,若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.
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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2.
(1)试求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为(2,1),试求直线l的方程.
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直线l:y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点,
(1)求a的取值范围;
(2)设交点为A,B,是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点,若存在就求出直线l的方程,若不存在则说明理由.
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已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.
(1)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;
(2)过点F的直线交抛物线C1于A,B两不同点,交y轴于点N,已知


NA
=λ1


AF


NB
=λ2


BF
,则λ12是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
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