在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1. (1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值. |
(1)双曲线C1:-=1左顶点A(-,0), 渐近线方程为:y=±x. 过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=(x+),即y=x+1, 所以,解得. 所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=. (2)设直线PQ的方程为y=kx+b, 因直线PQ与已知圆相切,故=1, 即b2=2,由, 得x2-2bx-b2-1=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则, 又y1y2=(x1+b)(x2+b). 所以•=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 =2(-1-b2)+2b2+b2 =b2-2=0. 故PO⊥OQ. (3)当直线ON垂直x轴时,|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|>), 则直线OM的方程为y=-x,由 =1得, 所以|ON|2=. 同理|OM|2=, 设O到直线MN的距离为d, 因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 所以=+==3, 即d=. 综上,O到直线MN的距离是定值. |
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2】;主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]
举一反三
设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 (1)求C的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. |
在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆+=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0 (1)设动点P满足(+)(-)=13,求点P的轨迹方程; (2)设x1=2,x2=,求点T的坐标; (3)若点T在点P的轨迹上运动,问直线MN是否经过x轴上的一定点,若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.
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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2. (1)试求抛物线C的标准方程; (2)若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为(2,1),试求直线l的方程. |
直线l:y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点, (1)求a的取值范围; (2)设交点为A,B,是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点,若存在就求出直线l的方程,若不存在则说明理由. |
已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2:+=1(a>b>0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上. (1)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程; (2)过点F的直线交抛物线C1于A,B两不同点,交y轴于点N,已知=λ1,=λ2,则λ1+λ2是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由. |