已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．（1）试求抛物线C的标准方程；（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．
（1）试求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），试求直线l的方程．

答案

（1）因为抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2，
所以|MF|=xM+

=1+

=2，所以p=2，
所以抛物线C的标准方程为y²=4x；
（2）设直线l与抛物线C相交所得的弦为AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

=4x1

=4x2

两式相减并整理得：

y1-y2

x1-x2

y1+y2

，
所以kAB=

y1-y2

x1-x2

y1+y2

=2
由直线的点斜式得：y-1=2（x-2）
所以直线l的方程为：2x-y-3=0．

核心考点

试题【已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．（1）试求抛物线C的标准方程；（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

直线l：y=ax+1与双曲线3x²-y²=1有两个不同的交点，
（1）求a的取值范围；
（2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由．

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已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：

=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（1）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C₁于A，B两不同点，交y轴于点N，已知

=λ1

，

=λ2

，则λ₁+λ₂是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

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已知直线l：y=2x与抛物线C：y=

x2交于A（x_A，y_A）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（x_B，y_B）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线y=

x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），经过点（3，-2）与向量（-1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又

．
（Ⅰ）求椭圆C长轴长的取值范围；
（Ⅱ）若|

，求椭圆C的方程．

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椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．

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