已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．（1）求点M的轨迹C的方程；（ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（4，0）作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P，Q，求证OP⊥OQ（O为坐标原点）．

答案

（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的轨迹为以A为焦点，l为准线的抛物线．
∴M的轨迹方程为y²=4x．
（2）当h⊥x时，h：x=4由

x=4

y2=4x

得y=±4
此时，P（4，4），Q（4，-4）
K_OP=1，K_OQ=-1∴OP⊥OQ
当h与x轴不垂直时，设l：y=k（x-4）
由

y=k(x-4)

y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
x₁⋅x₂=16，y1⋅y2=-

⋅

=-16
∴

•

=x₁⋅x₂+y₁⋅y₂=0
∴OP⊥OQ

核心考点

试题【已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．（1）求点M的轨迹C的方程；（】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，椭圆的两顶点为A(

，0)，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F₁，F₂．
（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设过F₁的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF₂面积的最大值．

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已知抛物线C的方程为x²=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为

；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为

，求证点N到直线MA，MB的距离相等．

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椭圆

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₁的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂的内切圆的面积为π．A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为______．

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如图．已知椭圆

=1(a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=

，F₁为椭圆的左焦点且

AF1

•

F1B

=1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

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如图，椭圆C₁：

=1（a＞b，b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C_l的长轴三等分，且圆C₂的面积为π．椭圆C_l的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C₁的另一个交点分别是点P、M．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K₁，求

的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．

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