过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于不同的两点A、B,试确定实数a的取值范围,使|AB|≤2p. |
由题意,直线l的方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得x2-2(a+p)x+a2=0. 设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 | 4(a+p)2-4a2>0 | x1+x2=2(a+p) | x1x2=a2. |
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又y1=x1-a,y2=x2-a, ∴|AB|===. ∵0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0,∴0<≤2p. 解得-<a≤-. 故a∈(-,-]时,有|AB|≤2p. |
核心考点
试题【过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于不同的两点A、B,试确定实数a的取值范围,使|AB|≤2p.】;主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知椭圆 +=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为. (1)求椭圆的方程. (2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由. |
如图,已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b>0)经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于A,B两不同的点. (1)求该椭圆的标准方程; (2)求实数m的取值范围; (3)是否存在实数m,使△ABM为直角三角形,若存在,求出m的值,若不存,请说明理由.
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如图,点F是椭圆W:+=1(a>b>0)的左焦点,A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点,椭圆的离心率为,三角形ABF的面积为, (Ⅰ)求椭圆W的方程; (Ⅱ)对于x轴上的点P(t,0),椭圆W上存在点Q,使得PQ⊥AQ,求实数t的取值范围; (Ⅲ)直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆W交于不同的两点M、N(M、N异于椭圆的左右顶点),若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
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已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,短轴长为2,点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上的两点,=(,),=(,),且•=0. (1)求椭圆方程; (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率; (3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. |
求经过点P(-1,-6)与抛物线C:x2=4y只有一个公共点的直线l方程. |