题目

题型：不详难度：来源：

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，|A₁B₂|=

7

，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|

OP

|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）依题意有|A1B2|=

a2+b2

=

7，

∴a²+b²=7…（1分）
又由S_□A₁B₁A₂B₂=2S_□B₁F₁B₂F₂．有2a•b=2•2c•b，∴a=2c…（2分）
解得a²=4，b²=3，…（3分），
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

x 21

4

+

y 21

3

=1，

x 22

4

+

y 22

3

=1，
两式相减得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

．
∵Q是MN的中点，
∴可得直线m的斜率为k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，（7分）
当直线m的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，
这时MN的中点为（1，0），
∴x=1不符合题设要求．…（8分）
综上，直线m的方程为3x+4y-7=0…（9分）
（Ⅲ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），假设满足题设的直线l存在，
（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1，…（10分）
又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0，
由求根公式可得x1+x2=

-8km

3+4k2

，④x1x2=

4m2-12

3+4k2

．⑤
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
将④，⑤代入上式并化简得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，⑥
将m²=1+k²代入⑥并化简得-5（k²+1）=0，矛盾．
即此时直线l不存在．…（12分）
（ii）当l垂直于x轴时，满足|

OP

|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，
由A、B两点的坐标为（1，

3

2

），（1，-

3

2

）或（-1，

3

2

），（-1，-

3

2

）．
当x=1时，

OA

•

OB

=（1，

3

2

）•（1，-

3

2

）=-

5

4

≠0，
当x=-1时，

OA

•

OB

=（-1，

3

2

）•（-1，-

3

2

）=-

5

4

≠0．
∴此时直线l也不存在．
综上所述，使

OA

•

OB

=0成立的直线l不成立，即不存在直线l使以AB为直径的圆过原点．