题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F₁，F₂，p是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=λPF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

答案

（1）λ=

|PF2|

|PF1|

=

b2 a

2a- b2 a

，化为2a²λ-b²λ=b²，整理为

b2

a2

=

2λ

1+λ

．
∴e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

2λ

1+λ

=

1-λ

1+λ

，
∴e=

1-λ 1+λ

，在λ∈[

1

3

，

1

2

]上单调递减．
∴λ=

1

2

时，e²最小

1

3

，λ=

1

3

时，e²最小

1

2

，∴

1

3

≤e2≤

1

2

，
∴

3

3

≤e≤

2

2

．
（2）当e=

2

2

时，

c

a

=

2

2

，∴c=b=

2

2

a，
∴2b²=a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点，∴在y轴上截得的弦长就是直径，
∴PF₁=6．
又|PF₁|=2a-

b2

a

=2a-

a2

a

=

3

2

a=6，
∴a=4，c=b=2

2

．
∴椭圆方程是

x2

16

+

y2

8

=1．
（3）由（2）得到|PF2|=

b2

a

=

a

2

=2，于是圆心Q（0，1），半径为3，圆Q的方程是x²+（y-1）²=9．椭圆的右准线方程为x=4

2

，
∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，∴切点M，N在以AQ为直径的圆上．
设A点坐标为(4

2

，t)，∴该圆方程为x(x-4

2

)+(y-1)(y-t)=0．
∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：4

2

x+(t-1)y-8-t=0，这就是直线MN的方程．
该直线化为：(y-1)t+4

2

x-y-8=0，
∴

y-1=0 4 2 x-y-8=0

，解得

x= 9 2 8 y=1

∴直线MN必过定点(

9 2

8

，1)．