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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右两焦点分别为F1,F2,p是椭圆上一点,且在x轴上方,PF2⊥F1F2,PF2=λPF1,λ∈[
1
3
1
2
].
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)当e取最大值时,过F1,F2,P的圆Q的截y轴的线段长为6,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线,切点分别为M,N.试探究直线MN是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
答案
(1)λ=
|PF2|
|PF1|
=
b2
a
2a-
b2
a
,化为2a2λ-b2λ=b2,整理为
b2
a2
=
1+λ

e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=1-
1+λ
=
1-λ
1+λ

e=


1-λ
1+λ
,在λ∈[
1
3
1
2
]
上单调递减.
λ=
1
2
时,e2最小
1
3
λ=
1
3
时,e2最小
1
2
,∴
1
3
e2
1
2



3
3
≤e≤


2
2

(2)当e=


2
2
时,
c
a
=


2
2
,∴c=b=


2
2
a

∴2b2=a2
∵PF2⊥F1F2,∴PF1是圆的直径,圆心是PF1的中点,∴在y轴上截得的弦长就是直径,
∴PF1=6.
又|PF1|=2a-
b2
a
=2a-
a2
a
=
3
2
a
=6,
∴a=4,c=b=2


2

∴椭圆方程是
x2
16
+
y2
8
=1

(3)由(2)得到|PF2|=
b2
a
=
a
2
=2,于是圆心Q(0,1),半径为3,圆Q的方程是x2+(y-1)2=9.椭圆的右准线方程为x=4


2

∵直线AM,AN是圆Q的两条切线,∴切点M,N在以AQ为直径的圆上.
设A点坐标为(4


2
,t)
,∴该圆方程为x(x-4


2
)+(y-1)(y-t)=0

∴直线MN是两圆的公共弦,两圆方程相减得:4


2
x+(t-1)y-8-t=0
,这就是直线MN的方程.
该直线化为:(y-1)t+4


2
x-y-8=0






y-1=0
4


2
x-y-8=0
,解得





x=
9


2
8
y=1

∴直线MN必过定点(
9


2
8
,1)
核心考点
试题【已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两焦点分别为F1,F2,p是椭圆上一点,且在x轴上方,PF2⊥F1F2,PF2=λPF1,λ∈[13,12].】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如果椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
的弦AB被点M(x0,y0)平分,设直线AB的斜率为k1,直线OM(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1•k2=(  )
A.4B.
1
4
C.-1D.-
1
4
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已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点F1的坐标为(-1,0),已知椭圆E上的一点到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过椭圆E的右焦点F2作一条倾斜角为
π
4
的直线交椭圆于C、D,求△CDF1的面积;
(Ⅲ)设点P(4,t)(t≠0),A、B分别是椭圆的左、右顶点,若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N,求证∠MBP为锐角.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于P、Q两点,△F2PQ的周长为4


3

(1)若椭圆的离心率e=


3
3
,求椭圆的方程;
(2)若M为椭圆上一点,


MF1


MF2
=1,求△MF1F2的面积最大时的椭圆方程.
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在直角坐标系中,O为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,


2
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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如图,直线l:y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B,C两点,求△ABC的面积.
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