当前位置:高中试题 > 数学试题 > 曲线与方程的应用 > 矩形ABCD的中心在坐标原点,边AB与x轴平行,AB=8,BC=6.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,R′,S′,T′是线段...
题目
题型:不详难度:来源:
矩形ABCD的中心在坐标原点,边AB与x轴平行,AB=8,BC=6.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,R′,S′,T′是线段CF的四等分点.设直线ER与GR′,ES与GS′,ET与GT′的交点依次为L,M,N.
(1)求以HF为长轴,以EG为短轴的椭圆Q的方程;
(2)根据条件可判定点L,M,N都在(1)中的椭圆Q上,请以点L为例,给出证明(即证明点L在椭圆Q上).
(3)设线段OF的n(n∈N+,n≥2)等分点从左向右依次为Ri(i=1,2,…,n-1),线段CF的n等分点从上向下依次为Ti(i=1,2,…,n-1),那么直线ERi(i=1,2,…,n-1)与哪条直线的交点一定在椭圆Q上?(写出结果即可,此问不要求证明)
答案
(1)由题意,2a=AB=8,2b=BC=6,
∴a=4,b=3,
∴椭圆Q的方程为
x2
16
+
y2
9
=1

(2)由题意知E(0,-3),R(1,0),G(0,3),R(4,
4
9
)

可得直线ER的方程为y=3x-3,直线GR′的方程为y=-
3
16
x+3

联立可解得L(
96
51
135
51
)
,代入椭圆方程
x2
16
+
y2
9
=1
成立,得证.
(3)由(2)知,直线ERi(i=1,2,…,n-1)与直线GTi(i=1,2,…,n-1)的交点一定在椭圆Q上.
核心考点
试题【矩形ABCD的中心在坐标原点,边AB与x轴平行,AB=8,BC=6.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,R′,S′,T′是线段】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
经过点A(2,1),离心率为


2
2
.过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求


BM


BN
的取值范围;
(Ⅲ)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN,求证:kAM+kAN为定值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲
x2
4
-
y2
5
=1
的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=


2
|AF|
,则A点的横坐标为(  )
A.2


2
B.3C.2


3
D.4
题型:不详难度:| 查看答案
如图,以


3
2
为离心率的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右顶点分别为A和B,点P是椭圆位于x轴上方的一点,且△PAB的面积最大值为2.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设点Q是椭圆位于x轴下方的一点,直线AP、BQ的斜率分别为k1,k2,若k1=7k2,设△BPQ与△APQ的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,动点p(x,y)(x≥0)满足:点p到定点F(
1
2
,0)与到y轴的距离之差为
1
2
.记动点p的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A、B两点,过点A和原点O的直线交直线x=-
1
2
于点D,求证:直线DB平行于x轴.
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线C:
x2
m+2
+
y2
3-m
=1
(m∈R).
(Ⅰ)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(Ⅱ)设m=2,过点D(0,4)的直线l与曲线C交于M,N两点,O为坐标原点,若∠OMN为直角,求直线l的斜率.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.