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题目
题型:不详难度:来源:
若点P到点F(
1
2
,0)的距离与它到直线x+
1
2
=0的距离相等.
(1)求P点轨迹方程C,
(2)A点是曲线C上横坐标为8且在X轴上方的点,过A点且斜率为1的直线l与C的另一个交点为B,求C与l所围成的图形的面积.
答案
(1)因为点P到点F(
1
2
,0)的距离与它到直线x+
1
2
=0的距离相等
所以P点轨迹为以点F(
1
2
,0)为焦点的抛物线,
其方程为y2=2x;
(2)当x=8时A点坐标为(8,4),故AF直线方程为
y-4=1×(x-8),即y=x-4.
作出曲线y2=2x,y=x-4的草图如图,
解方程组





y2=2x
y=x-4
,得B(2,-2)
所求面积为S=2
20
(


2x
)dx
+
82
(


2x
-(x-4))dx

=2


2
20
x
1
2
dx+


2
82
x
1
2
dx
-∫82
xdx
+∫82
4dx

=
4


2
3
x
3
2
|
20
+
2


2
3
x
3
2
|
82
-
1
2
x2|82
+4
x|82

=
4


2
3
×2
3
2
+
2


2
3
(8
3
2
-2
3
2
)-
1
2
(82-22)+24
=18.
所以C与l所围成的图形的面积为18.
核心考点
试题【若点P到点F(12,0)的距离与它到直线x+12=0的距离相等.(1)求P点轨迹方程C,(2)A点是曲线C上横坐标为8且在X轴上方的点,过A点且斜率为1的直线l】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=
1
2
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.
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已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且


AC


BC
=0
,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆的方程;
(2)如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO,则总存在实数λ,使


PQ


AB
,请给出证明.
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已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=


21
3
的双曲线过点P(6,6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问:是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论.
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已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
3
=1
(a


3
)的离心率e=
1
2
.直线x=t(t>0)与曲线 E交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆 C,圆心为 C.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABC的面积的最大值.
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已知过抛物线x2=4y的焦点,斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)若点C(x3,y3)是抛物线弧AB上的一点,求△ABC面积的最大值,并求出点C的坐标.
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