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题目
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(本小题满分16分)已知F1(-c,0), F2(c,0) (c>0)是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,圆M的方程是
(1)若P是圆M上的任意一点,求证:是定值;
(2)若椭圆经过圆上一点Q,且cos∠F1QF2=,求椭圆的离心率;
(3)在(2)的条件下,若|OQ|=,求椭圆的方程.
答案
(1) 3  (Ⅱ)(3)
解析
(1)证明:设P(x,y)是圆上的任意一点,
= =3∴="3   " -5分
(2)解:在△F1QF2中,F1F2=2c,Q在圆上,设|QF2|=x,则|QF1|=3x,椭圆半长轴长为2x,
4c2=x2+9x2-6x2×,5c2=8x2,e2=,e=.----------10分
(3)由(2)知,x=,即|QF2|=,则|QF1|=3

,由于|OQ|=,∴c=2,进一步由e= =得到a2=10,b2=6,所求椭圆方程是.           ------------16分
点评:本题考查椭圆的性质、定义、圆的有关性质及其运算,解三角形,较难题
核心考点
试题【(本小题满分16分)已知F1(-c,0), F2(c,0) (c>0)是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,圆M的方程是.(1)若P是圆M上的任意一点,求证:是定值;】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于       

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如图,已知点P(3,0),点A,B分别在x轴负半轴和y轴上,且 当点B在y轴上移动时记点C的轨迹为E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)已知向量为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M,N,若D(-1,0),的取值范围.
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(本小题满分12分)
已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4,直线为该椭圆的一条准线.
1)求椭圆C的方程;
2)设直线与椭圆C交于不同的两点(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
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(本题15分)已知曲线C是到点和到直线

距离相等的点的轨迹,l是过点Q(-1,0)的直线,
MC上(不在l上)的动点;A、Bl上,
轴(如图)。
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)求出直线l的方程,使得为常数。
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如图,在面积为18的△ABC中,AB=5,双曲线E过点A,



 
且以B、C为焦点,已知(Ⅰ)建立适当的坐标系,求双曲线E的方程;
(Ⅱ)是否存在过点D(1,1)的直线l
使l与双曲线E交于不同的两点M、N,且
如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
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