题目

题型：不详难度：来源：

如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.
(1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;
(2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.

答案

(1)证明见解析(2)圆的方程是 (或)

解析

(1) 依题意，可设直线的方程为 代入抛物线方程得   
    ①
设两点的坐标分别是 、、是方程①的两根.
所以                                                  
由点分有向线段所成的比为，得
又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.
 
 所以               
(2) 由 得点的坐标分别是（6，9）、（－4，4）,   
由   得
所以抛物线 在点处切线的斜率为,                 
设圆的圆心为, 方程是
则解得
则圆的方程是 (或)