题目
题型:不详难度:来源:
如图,椭圆(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.
答案
解析
解法一:
(Ⅰ)由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,
所以椭圆C方程为.
(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),="1." ……①
AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0,
n(x-4)-(m-4)y=0.
设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0="0," ……②
n(x0-4)+(m-4)y0="0," ……③
由②,③得
x0=.
所以点M恒在椭圆G上.
(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入=1得(3t2+4)y2+6ty-9=0.
设A(x1,y1),M(x2,y2),则有:y1+y2=
|y1-y2|=
令3t2+4=λ(λ≥4),则
|y1-y2|=
因为λ≥4,0<
|y1-y2|有最大值3,此时AM过点F.
△AMN的面积S△AMN=
解法二:
(Ⅰ)问解法一:
(Ⅱ)(ⅰ)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), ……①
AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y="0, " ……②
n(x-4)-(m-4)y="0, " ……③
由②,③得:当≠. ……④
由④代入①,得=1(y≠0).
当x=时,由②,③得:
解得与a≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.
(Ⅱ)同解法一.
核心考点
试题【(本小题满分14分)如图,椭圆(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当时,求椭圆的方程;
(2)当的边长恰好是三个连续的自然数时,求面积的最大值.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为(0,2),(0,-2),且点P(,)在椭圆上.
(2)椭圆长轴是短轴的3倍,且过点A(4,0).
(3)双曲线经过点(-3,2),且一条渐近线为y=x.
(4)双曲线离心率为,且过点(4,).
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