题目

题型：不详难度：来源：

如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值．

答案

（1）椭圆C₂方程为
（2）面积的最大值为. 

解析

（1）当时，，则
设椭圆方程为，则又，所以
所以椭圆C₂方程为                                 …………
（2）因为，，则，，设椭圆方程为
由，得                 …………
即，得代入抛物线方程得，即
,，
因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以        …………
此时抛物线方程为，，直线方程为：.
联立，得，即，
所以，代入抛物线方程得，即
∴.
设到直线PQ的距离为 ，
则                       …………
当时，，
即面积的最大值为.                   …………