题目

题型：不详难度：来源：

（13分）已知椭圆经过点，过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 过F的另一直线交椭圆于两点，且，当四边形的面积S=时，求直线L的方程．

答案

（1）（2）x-y-1=0或x+y-1=0

解析

(Ⅰ)设F(c,0)，则直线L的方程为2x-y-2c=0，∵坐标原点O到L的距离为，
∴，c=1。………………………………………………………2分
∵椭圆经过点,∴,b=1,由得。
∴椭圆的方程为   ……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线L过点F(1,0)，设其方程为y=k(x-1)（），点A()，C（），
解得，。
∴，……………………………………………6分
=……………………………8分
∵过F的另一直线交椭圆于两点，且，，
∴直线BD的方程为y=(x-1) 。
把式中k换成，类比可得，…………………………10分
∴四边形的面积， …………11分
解得，∴直线L的方程为x-y-1=0或x+y-1="0" 。  ………………………13分