题目
题型:不详难度:来源:
(1)求动点D的轨迹C的方程;
(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q,
①当|PQ|=3时,求直线l的方程;
②设点E(m,0)是x轴上一点,求当·恒为定值时E点的坐标及定值.
答案
∵ D是AB的中点, ∴x=,y=,
∵ |AB|=2,∴(a-b)2+(a+b)2=12,
∴(2y)2+(2x)2=12,∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3.
(2) ①当直线l与x轴垂直时,P(1,),Q(1,-),
此时|PQ|=2,不符合题意;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),
由于|PQ|=3,所以圆心C到直线l的距离为,
由=,解得k=.故直线l的方程为y=(x-1).
②当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),
由消去y得(k2+1)x2-2k2x+k2-3=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)则由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,
则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2),
∴·=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-++k2 (-+1)=
要使上式为定值须=1,解得m=1,
∴·为定值-2,
当直线l的斜率不存在时P(1,),Q(1,-),
由E(1,0)可得=(0,-),=(0,),
∴·=-2,
综上所述当E(1,0)时,·为定值-2.
解析
核心考点
试题【(本小题满分13分)已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,D是AB的中点.(1)求动点D的轨迹C的方程;(2)若过点(1,0)的直】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
内切 内切或外切 .外切 .相离或相交
①方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成区域面积为2;
②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x;
③与两定点(-1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆;
④与两定点(-1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线.
正确的命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)
(1)求椭圆的离心率;
(2)己知,问是否存在点,使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为;若存在,请求出所有的点坐标;若不存在,请说明理由.
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