题目

题型：不详难度：来源：

设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）过点能否作出直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

答案

（1）∵      ∴    ∴ 双曲线渐近线方程为
（2）解：假设过点能作出直线，使与双曲线交于、两点，
且         若过点的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去．
设直线方程为        

①代入②得：

∵ ∴        ∴   
∴ ∴    不合题意.       ∴ 不存在这样的直线.

解析

(1)根据离心率先求出a²的值，然后令双曲线等于右侧的1为0，解此方程可得双曲线的渐近线方程.
（2）设直线l的方程为,然后直线方程与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示此条件，得到关于k的方程，解出k的值，然后验证判别式是否大于零即可.