题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴端点为，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线与轴交于点，与椭圆交于不同的两点，且。（14分）
(1)求椭圆的方程；
(2)求实数的取值范围。

答案

（1）（2）-1<m<或<m<1

解析

试题分析：（1）∵一个长轴端点为，所以，且焦点在y轴上，
因为短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，所以，
又因为，所以，所以椭圆方程为.
（2）(1)当直线斜率不存在时，不符题意，斜率为0时显然也不符题意；
设，
由，
∴，
设，，，
所以，，
所以，所以， 消去得，
又，∴，
∴， ∴<0， ∴-1<m<或<m<1.
点评：求解直线与圆锥曲线的位置关系时，免不了要联立直线方程和圆锥曲线方程，此时一般运算量比较大，综合考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.