题目

题型：不详难度：来源：

若椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴的一个端点与左右焦点、组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于、两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

答案

(1) (2)且

解析

试题分析：(1)设椭圆的方程为 
由所以，椭圆的方程为 ……1…5 分
(2)、，
当直线的斜率不存在时，的中点为，直线的斜率；
当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为：，……2
由12联立消去并整理得：
设，则       ……10分
当时，的中点为坐标原点，直线的斜率；      ……11 分
当时，，
且 ……13 分
点评：直线与椭圆相交的问题常联立方程，结合韦达定理求解，在求解过程中要注意分直线斜率是否存在两种情况分别讨论，再应用均值不等式求得斜率最值