题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明:k1·k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
答案
则k1=,k2=.因为点P在双曲线x2-y2=4上,所以x-y=4.
因此k1·k2=·==1,即k1·k2=1.
(3)存在λ=,使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
解析
试题分析:(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知:,
2a+2c=4(+1),所以a=2,c=2.
又a2=b2+c2,因此b=2.故椭圆的标准方程为=1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为=1(m>0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以m=2,因此双曲线的标准方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则k1=,k2=.
因为点P在双曲线x2-y2=4上,所以x-y=4.
因此k1·k2=·==1,即k1·k2=1.
(3)由于PF1的方程为y=k1(x+2),将其代入椭圆方程得(2k+1)x2-8kx+8k-8=0,
显然2k+1≠0,显然Δ>0.由韦达定理得x1+x2=,x1x2=.
所以|AB|=
=.
同理可得|CD|=.
则,
又k1·k2=1,
所以.
故|AB|+|CD|=|AB|·|CD|.
因此存在λ=,使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
点评:对于直线与圆锥曲线的综合问题,往往要联立方程,同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解;而对于最值问题,则可将该表达式用直线斜率k表示,然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式
核心考点
试题【如图,已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程;
(2)过抛物线上一点P,作抛物线的切线,切点P在第一象限,如图,设切线与椭圆相交于不同的两点A、B,记直线OP,FA,FB的斜率分别为(其中为坐标原点),若,求点P的坐标.
A.直线 | B.圆 | C.椭圆 | D.双曲线 |
C:(a>b>0)的左、右焦点,直线:x=-将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M在直线l上,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点M,使以PQ为直径的圆经过点F2,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
A. | B. | C. | D. |
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