题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=（O为坐标原点）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点：若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

答案

（1） 
（2）在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）。

解析

试题分析：（1）设

因此所求椭圆的方程为：    5分
（2）动直线l的方程为：，


     10分
由假设得对于任意的恒成立，
即
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）。   13分
（以上答案仅供参考，其它解法酌情赋分）
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）利用向量垂直，数量积为0，确定得到m的方程。