题目

题型：不详难度：来源：

已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭圆上，且满足（是坐标原点），，若椭圆的离心率为.
（1）若的面积等于，求椭圆的方程；
（2）设直线与（1）中的椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

答案

（1）   （2）

解析

试题分析：（1）利用离心率沟通和及的关系，再由三角形面积得到另一个，，的关系，
可求得椭圆方程为：．
（3）由（2）可知A（-2,0）．设B点的坐标为（x_1,,y₁）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得
由得
设线段AB是中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2,0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是
．
②当K时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由

整理得．
经验证，都符合题意，故．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理和判别式来作为解题的关键．