如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是___ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，F₁，F₂是椭圆C₁：

＋y²＝1与双曲线C₂的公共焦点，A，B分别是C₁，C₂在第二、四象限的公共点．若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是________．

答案

解析

|F₁F₂|＝2

.设双曲线的方程为

－

＝1.
∵|AF₂|＋|AF₁|＝4，|AF₂|－|AF₁|＝2a，
∴|AF₂|＝2＋a，|AF₁|＝2－a.
在Rt△F₁AF₂中，∠F₁AF₂＝90°，
∴|AF₁|²＋|AF₂|²＝|F₁F₂|²，
则(2－a)²＋(2＋a)²＝(2

)²，
∴a＝

，∴离心率e＝

＝

核心考点

试题【如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是___】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，已知椭圆

的离心率是

，

分别是椭圆

的左、右两个顶点，点

是椭圆

的右焦点。点

是

轴上位于

右侧的一点，且满足

．

（1）求椭圆

的方程以及点

的坐标；
（2）过点

作

轴的垂线

，再作直线

与椭圆

有且仅有一个公共点

，直线

交直线

于点

．求证：以线段

为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

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在

中，

，给出

满足的条件，就能得到动点

的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

条件	方程
①周长为10
②面积为10
③中，

则满足条件①、②、③的点

轨迹方程按顺序分别是
A.

、

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已知

、

分别是椭圆

的左、右焦点.
（1）若

是第一象限内该椭圆上的一点，

，求点

的坐标；
（2）设过定点

的直线

与椭圆交于不同的两点

、

，且

为锐角（其
中

为坐标原点），求直线

的斜率

的取值范围.

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已知圆

，直线

与圆

相切，且交椭圆

于

两点，c是椭圆的半焦距，

.
（1）求m的值；
（2）O为坐标原点，若

，求椭圆

的方程；
（3）在（2）的条件下，设椭圆

的左右顶点分别为A，B，动点

，直线

与直线

分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.

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已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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