当前位置:高中试题 > 数学试题 > 曲线与方程的应用 > 如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“...
题目
题型:不详难度:来源:
如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭圆”分别为P,Q.

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)问是否存在过左焦点的直线,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1);(2)直线方程为.
解析

试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式,解方程组,得到基本量a和b的值,从而得到椭圆的方程;第二问,直线l过左焦点,所以讨论直线的斜率是否存在,当斜率不存在时,可以直接写出直线方程,令直线与椭圆联立,得到交点坐标,验证以PQ为直径的圆不过坐标原点,当斜率存在时,直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,证明,解出k的值.
(1)由题意,,即,即   2分
得:
∴椭圆的标准方程:.                   5分
(2)①当直线的斜率不存在时,直线的方程为
联立,解得
不妨令,所以对应的“椭点”坐标

所以此时以为直径的圆不过坐标原点.                7分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为
 消去得,
,则这两点的“椭点”坐标分别为
由根与系数关系得:                 9分
若使得以为直径的圆过坐标原点,则
,∴
,即
代入,解得:
所以直线方程为.             12分
核心考点
试题【如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
是双曲线的右支上一点,分别是圆上的点,则的最大值等于           .
题型:不详难度:| 查看答案
已知为双曲线的左右焦点,点上,,则(         )
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系中,原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标;
(2)若,求证:直线恒过定点;
(3)当时,设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切,求半径的取值范围?
题型:不详难度:| 查看答案
分别是椭圆的 左,右焦点。
(1)若P是该椭圆上一个动点,求的 最大值和最小值。
(2)设过定点M(0,2)的 直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l斜率k的取值范围。
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆为坐标原点,椭圆的右准线与轴的交点是
(1)点在已知椭圆上,动点满足,求动点的轨迹方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点,求的面积的最大值
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.