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题目
题型:不详难度:来源:
已知的三个顶点在抛物线上,为抛物线的焦点,点的中点,
(1)若,求点的坐标;
(2)求面积的最大值.

答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)根据抛物线方程为,写出焦点为,准线方程为,设,由抛物线的定义知,,把代入求得点的坐标,再由求得点的坐标;
(2)设直线的方程为,联立方程组,整理得,先求出的中点的坐标,再由,得出,用弦长公式表示,构造函数,用导数法求的面积的最大值.
(1)由题意知,焦点为,准线方程为,设
由抛物线的定义知,,得到,代入求得
所以,由
(2)设直线的方程为
,于是
所以
所以的中点的坐标
,所以
所以,因为
所以,由,所以
又因为
到直线的距离为
所以
,令解得
所以上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,

所以当时 ,取得最大值,此时
所以的面积的最大值为.
核心考点
试题【已知的三个顶点在抛物线:上,为抛物线的焦点,点为的中点,;(1)若,求点的坐标;(2)求面积的最大值.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是(   )
A.B.C.D.

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过点作斜率为的直线与椭圆相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为     
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如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为.

(1)求的值;
(2)过点的直线分别交于(均异于点),若,求直线的方程.
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已知是抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则面积之和的最小值是(   )
A.B.C.D.

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已知椭圆C:)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标.
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