题目

题型：0108 模拟题难度：来源：

抛物线P：x²=2py上一点Q（m，2）到抛物线P的焦点的距离为3，A、B、C、D为抛物线的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D（x₀，y₀）， B（x₁，y₁）， C（x₂，y₂），-x₀＜x₁＜x₀＜x₂，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线。
（1）求p的值；
（2）证明：∠BAC的角平分线在直线AD上；
（3）如果点D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m+n=|AD|，△ABC的面积为48，求直线BC的方程。

答案

解：（1）∵|QF|=3=2+
∴p=2。
（2）抛物线方程为
A（），D（），B（），C（）
∵
∴
∴
∵

∴
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，
所以
所以的角平分线在直线AD上。
（3）设，则m=n=|AD|sinα
∴
∵
∴
∴
即
把与抛物线方程联立得
∴
∴
同理可得
∵
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∴
∴
∴
∴。