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题目
题型:不详难度:来源:
20.(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)经过两点分别作抛物线的切线,切线相交于点.证明:
(3)椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.
 
答案
,
解析
20.(本小题满分14分)
(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识,考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)
解:(1)设椭圆的方程为,半焦距为.
由已知条件,得

解得 .
所以椭圆的方程为:.                  …………
(2)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,
故可设直线的方程为 
   
消去并整理得
∴  .                                  …………
∵抛物线的方程为,求导得
∴过抛物线两点的切线方程分别是
, 
 ,  
解得两条切线的交点的坐标为,即,……

.                                                      …………
(3)假设存在点满足题意,由(2)知点必在直线上,又直线与椭圆有唯一交点,故的坐标为
设过点且与抛物线相切的切线方程为:,其中点为切点.
得,
解得 ,                                    …………
故不妨取,即直线过点.
综上所述,椭圆上存在一点,经过点作抛物线的两条切线为切点),能使直线过点.
此时,两切线的方程分别为.             …………
抛物线与切线所围成图形的面积为
 .  
核心考点
试题【20.(本小题满分14分)已知抛物线:的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率.(1)求椭圆的方程;(2】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本题满分13分)已知抛物线C的方程为AB是抛物线C上的两点,直线AB过点M。(Ⅰ)设是抛物线上任意一点,求的最小值; (Ⅱ)求向量与向量的夹角(O是坐标原点);(Ⅲ)在轴上是否存在异于M的一点N,直线AN与抛物线的另一个交点为D,而直线DB轴交于点E,且有?若存在,求出N点坐标;若不存在,说明理由.
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(本题13分)已知抛物线的焦点轴上,抛物线上一点到准线的距离是,过点的直线与抛物线交于两点,过两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为
(1)求抛物线的标准方程;
(2)求的值;
(3)求证:的等比中项.
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(本小题满分15分)
如图,已知抛物线的准线为上的一个动点,过点作抛物
线的两条切线,切点分别为,再分别过两点作的垂线,垂足分别为
(1)求证:直线必经过轴上的一个定点,并写出点的坐标;
(2)若的面积依次构成等差数列,求此时点的坐标.
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在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线相交于两点.若点是点关于坐标原点的对称点,则面积的最小值为        
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已知A、B为抛物线C:上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若则直线AB的斜率为                                                                                                                               (   )
A.                          B.                          C.                          D.
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