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题目
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.(12分)(理)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax
答案
(理)解:依题设可知抛物线为凸形,它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=-b/a,所以
(1)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,即它们有唯一的公共点,
由方程组
得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为0,即(b+1)2+16a=0.
于是代入(1)式得:
; 
令S"(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3,且当0<b<3时,S"(b)>0;当b>3时,S"(b)<0.故
在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,即a=-1,b=3时,S取得最大值,且
解析

核心考点
试题【.(12分)(理)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax.】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本题满分15分) 如图所示,过抛物线的对称轴上一点作直线与抛物线交于两点,点是点关于原点的对称点.
(Ⅰ) 求证:
(Ⅱ) 若,且
,求证:
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已知,直线为平面上的动点,过点的垂线,垂足为点,且
(1)求动点的轨迹曲线的方程;
(2)设动直线与曲线相切于点,且与直线相交于点,试探究:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过此定点?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.
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过原点O引抛物线的切线,当变化时,两个切点分别在抛物线(  )上
A.B.
C.D.

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.(本小题满分14分)设抛物线的方程为为直线上任意一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.
(1)当的坐标为时,求过三点的圆的方程,并判断直线与此圆的位置关系;
(2)求证:直线恒过定点;
(3)当变化时,试探究直线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,有几个这样的点,若不存在,说明理由.
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(本小题满分12分)过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程。
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