题目

题型：不详难度：来源：

（12分）（已知抛物线，过定点的直线交抛物线于A、B两点.
（Ⅰ）分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点在定直线上.
（Ⅱ）当时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，请说明理由.

答案

(Ⅰ)由，得，设
过点A的切线方程为：，即
同理求得过点B的切线方程为：
∵直线PA、PB过，∴,
∴点在直线上，∵直线AB过定点，
∴，即∴两条切线PA、PB的交点在定直线上.
（Ⅱ）设，设直线的方程为：，
则直线的方程为：，
，
，             ①
设弦PQ的中点，则
∵弦PQ的中点在直线上，∴，
即     ②
②代入①中，得           ③

由已知，当时，弦长|PQ|中不存在最大值.
当时，这时，此时，弦长|PQ|中存在最大值，

解析

即当时，弦长|PQ|中的最大值为略