题目

题型：不详难度：来源：

（12分）（2011•福建）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

答案

（Ⅰ）b=﹣1（Ⅱ）（x﹣2）²+（y﹣1）²=4

解析

试题分析：（I）由，得：x²﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）²﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．
（II）由b=﹣1，得x²﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x²=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．
解：（I）由，消去y得：x²﹣4x﹣4b=0①，
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=（﹣4）²﹣4×（﹣4b）=0，
解得b=﹣1；
（II）由（I）可知b=﹣1，
把b=﹣1代入①得：x²﹣4x+4=0，
解得x=2，代入抛物线方程x²=4y，得y=1，
故点A的坐标为（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，
即r=|1﹣（﹣1）|=2，
所以圆A的方程为：（x﹣2）²+（y﹣1）²=4．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．