题目

题型：不详难度：来源：

过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。
（I）若，证明；；
（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。

答案

（I）见解析（II）

解析

（1）依题意，抛物线E的交点为，直线的方程为，
由得，设A、B两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，从而，所以点M的坐标为，，同理可得N的坐标为，，于是，由题设，，所以，故；
（2）由抛物线的定义得所以从而圆M的半径，圆M的方程为
化简得，同理可得圆N的方程为，于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，则直线l的方程为，因为，所以点M到直线l的距离，故当时，取最小值. 由题设，，所以，故所求抛物线E的方程为