题目
题型:不详难度:来源:
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程.
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
(3)在(2)的条件下,试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解析
由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,以点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.
(3)假设存在点B满足条件.由(2)得y=x2,y"=x,所以过点B的切线的斜率为k=x1,
切线方程为y-y1=x1(x-x1).
令x=0得y=-+y1,
令y=0得x=-+x1.
因为点B在x2=4y上,所以y1=,
故y=-,x=x1,
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=|x||y|=|x1||-|=||,
所以||=,解得|x1|=2,
所以x1=±2.
当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).
核心考点
试题【已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.3 | B.4 | C.3 | D.4 |
A.-2 | B.- | C.-4 | D.- |
A.2+2 | B.11 | C.1+2 | D.6 |
A.+2 | B.+1 | C.-2 | D.-1 |
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