题目

题型：广东省高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，-1）且不平行于y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l₁的斜率k的取值范围。

答案

解：（1）如图，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
∵
∴
∴，即
另一种情况（如图2），即点M和A位于OP的同侧
因为MQ为线段OP的垂直平分线
∴
又∵
∴
因此M在x轴上，此时，记M（x，0），设P（-2，a）为l上任意点（a∈R）
由即得
∴点M（x，0）的轨迹方程为y=0，x≤-1②
综合①②得，点M的轨迹E的方程为；

  （2）由（1）知，轨迹E的方程由E₁和E₂两部分组成
当时，过T做垂直于L的直线，垂足为T′，交E₁于点
再过H做垂直于L的直线，交l于H
∴
∴（该等号仅当H′与T′重合（或H与D重合）时取得）
当时，则
综合可得的最小值为3，此时点H；（3）由图3可知，直线l₁的斜率k不可能为0
设
∴，代入E₁的方程得
∴
∴l₁与E中的E₁有且仅有两个不同的交点
又由E₂和l₁的方程可知，若l₁与E₂有交点
则此交点的坐标为，且，即当时l₁与E₂有唯一交点
从上可知l₁与E有三个不同的交点
∴直线l₁斜率k的取值范围是。