题目

题型：安徽省高考真题难度：来源：

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切，
（Ⅰ）求a与b；
（Ⅱ）设该椭圆的左，右焦点分别为F₁和F₂，直线l₁过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁于点P，求线段PF₁垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。

答案

解：（1）由于e=，
∴，∴，
又，
∴b²=2，a²=3，因此，。
（2）由（1）知F₁，F₂两点分别为（-1，0），（1，0），
由题意可设P（1，t）（t≠0），
那么线段PF₁中点为N（0，），
设M(x、y)是所求轨迹上的任意点，
由于=（-x，-y），=（-2，-t），
则，
消去参数t得y²=-4x（x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）。