如图，圆C1：（x﹣a）2+y2=r2（r＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的一个交点M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C1．（Ⅰ）求C1和C2 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：云南省月考题难度：来源：

如图，圆C₁：（x﹣a）²+y²=r²（r＞0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点
M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C₁．
（Ⅰ）求C₁和C₂的标准方程；
（Ⅱ）若点N为圆C₁上的一动点，求

的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）由题意可得：把M（2，1）代入C₂：x²=2py（p＞0），解得p=2，
所以C₂：x²=4y
由

得

，
所以C₂在点M处的切线方程为y﹣1=x﹣2，
令y=0有x=1．
因为抛物线在点M处的切线过圆心C₁，所以圆心C₁（1，0），
又因为M （2，1）在圆C₁上所以（2﹣1）²+1=r²，
解得r²=2，
故C₁：（x﹣1）²+y²=2
（Ⅱ）设N（x，y），则

，

，
所以

，
令x+y﹣1=t，代入（x﹣1）²+y²=2得（y﹣t）²+y²=2，
整理得2y²﹣2ty+t²﹣2=0
由△=4t²﹣8（t²﹣2）≥0得﹣2≤t≤2
所以

的取值范围为[﹣2，2]．

核心考点

试题【如图，圆C1：（x﹣a）2+y2=r2（r＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的一个交点M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C1．（Ⅰ）求C1和C2】；主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]

举一反三

（选做题）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．
设点O为坐标原点，直线

（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）设直线L与曲线C相交于A，B两点，求证：

．

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过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切的动圆圆心的轨迹方程是（）

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如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

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已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过椭圆C₂：

（a＞b＞0）的一个焦点
F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与椭圆C₂的一个交点是M（

，

）．求抛物线C₁及椭圆C₂的方程．

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以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x²+y²﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是 [ ]
A．y=3x²或y=﹣3x²B．y=3x²C．y²=﹣9x或y=3x²D．y=﹣3x²或y²=9x

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