已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：x26+y25=1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：

=1的右焦点重合，抛物线C₁的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₁分别相交于A、B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₁的标准方程；
（Ⅱ）若|AB|=4

，求直线l的方程．

答案

（本小题满分12分）
（1）∵抛物线C₁的焦点与椭圆C₂：

=1的右焦点重合，
∴抛物线C₁的焦点坐标为F（1，0），
∵抛物线C₁的顶点在坐标原点，
∴抛物线C₁的方程为：y²=4x．…（6分）
（2）若直线AB的斜率不存在时，|AB|=8，不合题意，故直线AB的斜率存在．
由题意可设直线AB的方程为：y=k（x-4）（k≠0）．
联立

y=k(x-4)

y2=4x

，消去x，得ky²-4y-16k=0，

∴△=16+64k²＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

，y₁•y₂=-16，
∴|AB|=

|y1-y2|
=

•

(y1+y2)2-4y1y2

•

(

)2+64

由|AB|=4

，得k²=1，
∴k=±1，
∴直线l的方程为：x-y-4=0或x+y-4=0．…（14分）

核心考点

试题【已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：x26+y25=1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出】；主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为

，抛物E与直ly=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）当△OAB的面积等

时，求k的值．

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过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B（如图所示），交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则此抛物线的方程为（　　）

A．y²=8x

B．y²=4x

C．y²=2x

D．y2=

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已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B（\|AF\|＞\|BF\|），交其准线于点C，若\|BC\|=2\|BF\|，且\|AF\|=2，则此抛物线的方程为______．
已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F在直线l：x-y+1=0上（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线l与抛物线C相交于P，Q两点，求线段PQ中点M的坐标．