题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与（1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离之和s≥

4

5

c，则e的取值范围是______．

答案

将直线

x

a

-

y

b

=1化成一般式的形式：bx-ay-ab=0
∴点（-1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离为d₁=

|-b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab+b|

a2+b2

点1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离为d₂=

|b-ab|

b2+(-a)2

=

|ab-b|

a2+b2

∵双曲线中c²=a²+b²，且a＞1
∴d₁=

|ab+b|

a2+b2

=

ab+b

c

，d₂=

|ab-b|

a2+b2

=

ab-b

c

∵点（-1，0）与（1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离之和s≥

4

5

c，
∴s=d₁+d₂=

ab+b

c

+

ab-b

c

=

2ab

c

≥

4

5

c
∴

2

5

c2≤ab⇒

4

25

c4≤a2b2
将b²=c²-a²代入上式，得

4

25

c4≤a2(c2-a2)
整理，得4c⁴-25a²c²+25a⁴≤0
两边都除以a⁴，得4(

c

a

)4-25(

c

a

)2+25≤ 0
即4e⁴-25e²+25≤0⇒（4e²-5）（e²-5）≤0
∴

5

2

≤e2≤

5

⇒离心率e∈[

5

2

，

5

]
故答案为：[

5

2

，

5

]