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题目
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已知双曲线x2-=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.
答案
k的取值范围是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).
解析
当k=0时,显然不成立.
∴当k≠0时,由l⊥AB,可设直线AB的方程为y=-x+b,代入3x2-y2=3中,得(3k2-1)x2+2kbx-(b2+3)k2=0.
显然3k2-1≠0,∴Δ=(2kb)2-4(3k2-1)[-(b2+3)k2]>0,即k2b2+3k2-1>0.                  ①
由根与系数的关系,得中点M(x0,y0)的坐标

∵M(x0,y0)在直线l上,
=+4,即k2b=3k2-1.                                           ②
把②代入①得k2b2+k2b>0,解得b>0,或b<-1.
>0或<-1,
即|k|>或|k|<,且k≠0.
∴k的取值范围是(,+∞)∪(-∞,-)∪(-,0)∪(0, ).
核心考点
试题【已知双曲线x2-=1,双曲线存在关于直线l:y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围.】;主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知双曲线2mx2-my2=2的一条准线是y=1,则m=____________________.
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已知点P在双曲线x2-y2=1的右支上,且点P到直线y=x的距离为,则点P的坐标是_________________.
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双曲线x2-y2=1的左焦点为F,过点F且斜率为k的直线l与双曲线左支上位于x轴下方(不包括与x轴的交点)有且仅有一个交点,则直线l的斜率k的取值范围是(    )
A.(-∞,0)∪[1,+∞B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪[1,+∞D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

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已知P为双曲线3x2-5y2=15上的点,F1、F2为其两个焦点,且△F1PF2的面积是3,则∠F1PF2的大小为_________________.
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已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.
(1)若直线AP的斜率为k,且|k|∈[,],求实数m的取值范围;
(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.
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