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题目
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已知双曲线,点在曲线上,曲线的离心率为,点为曲线上易于点A的任意两点,为坐标原点。
(1)求曲线上方程;
(2)若为曲线的焦点,求最大值;
(3)若以为直径的圆过点,求证:直线过定点,并求出定点坐标。
答案
(1)方程为
(2)由双曲线的对称性知,不妨设P在左支上,设,由焦半径得:
,所以
所以,当时取等号。
的最大值是
(3)设,联立直线PQ和双曲线方程得:
,所以得
,由题知
所以

代入的
解得(舍去),所以PQ方程为
即得PQ过定点
(说明:另解一,可以利用对称和当PQ垂直情况猜过轴上点,然后证明;
另解二,设AP斜率,求出P,Q坐标,然后利用两点式写出方程判断过定点,)
解析

核心考点
试题【已知双曲线,点在曲线上,曲线的离心率为,点、为曲线上易于点A的任意两点,为坐标原点。(1)求曲线上方程;(2)若为曲线的焦点,求最大值;(3)若以为直径的圆过点】;主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
双曲线的一条渐近线方程是,坐标原点到直线的距离为,其中
(1)求双曲线的方程;
(2)若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点,过点作直线交双曲线于点,求时,直线的方程.

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P是双曲线的右支上一动点,M、N分别是圆上的动点,则的最大值为     
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已知双曲线的一条渐近线为,且与椭圆有相同的焦距,求双曲线的标准方程
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设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部.当时,的最大值是                        
A.24B.25C.4D.7

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设双曲线(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列,则双曲线的离心率为(   )
A.B.C.D.

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