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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆E的方程为2x2+y2=2,过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆E的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标;
(2)求△ABO(O为原点)的面积的最大值.
答案
(1)将椭圆E的方程化为标准方程:x2+
y2
2
=1
,(1分)
于是a=


2
,b=1,c=


a2-b2
=1

因此,椭圆E的长轴长为2a=2


2
,短轴长为2b=2,离心率e=
c
a
=


2
2
,两个焦点坐标分别是F1(0,-1)、F2(0,1),四个顶点的坐标分别是A1(0,-


2
)
A2(0,


2
)
,A3(-1,0)和A4(1,0).(6分)
(2)依题意,不妨设直线l过F2(0,1)与椭圆E的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
S△ABO=
1
2
|OF|•|x1-x2|=
1
2


(x1+x2)2-4x1x2
.(8分)
根据题意,直线l的方程可设为y=kx+1,
将y=kx+1代入2x2+y2=2,得(k2+2)x2+2kx-1=0.
由韦达定理得:x1+x2=-
2k
k2+2
x1x2=-
1
k2+2
,(10分)
所以S△ABO=
1
2


(-
2k
k2+2
)
2
+
4
k2+2
=


2


k2+1
k2+2
=


2


k2+1
+
1


k2+1


2
2
(当且仅当


k2+1
=
1


k2+1
,即k=0时等号成立).(13分)
故△ABO的面积的最大值为


2
2
.(14分)
核心考点
试题【已知椭圆E的方程为2x2+y2=2,过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求椭圆E的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标;(2)求△ABO(O】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆
x2
8
+
y2
4
=1上一点P到右焦点的距离是1,则点P到左焦点的距离是(  )
A.2


2
B.4


2
C.2


2
-1
D.4


2
-1
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆
x2
10
+
y2
2
=1的焦距为(  )
A.2


2
B.4


2
C.2


3
D.4


3
题型:不详难度:| 查看答案
常数a>0,椭圆x2+a2y2=2a的长轴长是短轴长的3倍,则a的值为(  )
A.3B.
1
3
C.3或
1
3
D.


3


3
3
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已知,分别为椭圆 
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)左、右焦点,B为椭圆短轴的一个端点,若


BF1


BF2
1
2


F1F22
,则椭圆离心率的取值范围是(  )
A.(0,
1
2
]
B.(0,


2
2
)
C.(0,


3
2
)
D.(
1
2
,1)
题型:不详难度:| 查看答案
直线x-2y+2=0经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为(  )
A.
2


5
5
B.
1
2
C.


5
5
D.
2
3
题型:揭阳模拟难度:| 查看答案
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