题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；
（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程．

答案

(1)
(2)
(3)

解析

解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．      ----------------1分
∵长轴长为,离心率，
∴．
所求椭圆方程为．                         ---------------- 4分
（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为．
设，
由     得 ，解得．
∴．         ---------------9分
（Ⅲ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．
由  可得．
∴．
，

因为以为邻边的平行四边形是矩形．
由得，
．
所求直线的方程为．  ----------------1 4分