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题目
题型:不详难度:来源:
给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ,若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为
(1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程;
(2)、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点,求弦MN的长。
(3)、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点,过点P作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,求证:
答案
解:(1)因为,所以……………………………………………2分
所以椭圆的方程为,伴随圆的方程为.………………4分
(2)设直线的方程,由 
…………………………6分
圆心到直线的距离为 ,所以………………………………8分
(3)①、当中有一条无斜率时,不妨设无斜率,
因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为
方程为时,此时与伴随圆交于点
此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是(或
(或,显然直线垂直;
同理可证方程为时,直线垂直.…………………………10分
②、当都有斜率时,设点其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
,消去得到
,……………………12分

经过化简得到:
因为,所以有,…………………14分
的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点,
所以满足方程
因而,即垂直.……………………………………………………16分
解析

核心考点
试题【给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ,若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为;(1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程;(】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆的离心率为的最小值为
A.B.C.2D.1

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已知圆及直线l:x-y+3=O,当直线l被圆C截得的
弦长为时,则a=(  )
A.B.C.D.

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设点P是椭圆上的一动点,F是椭圆的左焦点,
的取值范围为          
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(本题满分14分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2;且
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点,且△AF2B的面积为,求以F2为圆
心且与直线l相切的圆的方程.
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椭圆的一个焦点为,则等于          .
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