题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的离心率为，且过点（），
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线的方程.

答案

（1）（2）面积取最大值1，= 

解析

试题分析：（Ⅰ）∵
故所求椭圆为：又椭圆过点（）  ∴ ∴ ∴
(Ⅱ)设的中点为
将直线与联立得，
 ①
又=
又（-1，0）不在椭圆上，依题意有整理得 ②…
由①②可得，∵, 设O到直线的距离为，则
 =
=…分）
当的面积取最大值1，此时= ∴直线方程为= 
点评：直线与椭圆相交时常联立方程，利用韦达定理设而不求的方程转化求解出弦长，本题求解三角型面积最值转化成二次函数，有时利用均值不等式求最值，此题中第二小题属于难题