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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.
答案
(1) +y2=1   (2)见解析
解析
(1)由题意知:c=1.
根据椭圆的定义得:2a=+,
即a=,所以b2=2-1=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率为0时,A(,0),B(-,0),
·=(-,0)·(--,0)=-.
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为
x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
可得(t2+2)y2+2ty-1=0.
显然Δ>0.所以
因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,
所以·=(x1-,y1)·(x2-,y2)
=(ty1-)(ty2-)+y1y2
=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+
=-(t2+1)·++
=+=-.
·=-,为定值.
核心考点
试题【已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C:+=1(a>b>0).
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程.
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.
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已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是(  )
A.圆或椭圆或双曲线
B.两条射线或圆或抛物线
C.两条射线或圆或椭圆
D.椭圆或双曲线或抛物线

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设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足=(+),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为     .
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已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.
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已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2=.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.
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