题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，双曲线＝1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁.又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)．

(1)当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
(2)当＝λ，求λ的最大值．

答案

（1）＋y²＝1（2）－1

解析

(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°，
即＝tan30°＝.∴a＝b.又a²＋b²＝4，∴a²＝3，b²＝1.
故椭圆C的方程为＋y²＝1.
(2)由已知l：y＝(x－c)，与y＝x解得P.
由＝λ，得A.
将A点坐标代入椭圆方程，得(c²＋λa²)²＋λ²a⁴＝(1＋λ)²a²c².∴(e²＋λ)²＋λ²＝e²(1＋λ)².
∴λ²＝＋3≤3－2.∴λ的最大值为－1