题目
题型:不详难度:来源:
(1)求曲线的方程;
(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点,若直线不过点,设直线的斜率分别为,求的数值;
(3)试问:是否存在一个定圆,与以动点为圆心,以为半径的圆相内切?若存在,求出这个定圆的方程;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)本题是求方程问题,由于没有告诉我们是什么曲线,因此我们可根据已知条件采取直接法求方程,由已知可得,然后化简即可;(2)这是直线与圆锥曲线相交问题,解题方法是设直线方程为(注意,知道为什么吗?),与曲线方程联立方程组,并消去得到关于的二次方程,如果设,则可得(用表示),而
变形后表示成的式子,再把刚才的表达式代入计算应该就能得到结论;(3)假设存在这个定圆与动圆内切,则圆心距为两圆半径之差,从而与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值(定圆的半径),由于点是椭圆的右焦点,这时联想椭圆的定义,若是椭圆的左焦点,则就有是常数,故定圆是以为圆心,4为半径的圆.
试题解析:(1)由题知,有.
化简,得曲线的方程:.
(2)∵直线的斜率为,且不过点,
∴可设直线:.
联立方程组得.
又交点为,
∴.
∴
(3)答:一定存在满足题意的定圆.
理由:∵动圆与定圆相内切,
∴两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值.
又恰好是曲线(椭圆)的右焦点,且是曲线上的动点,
记曲线的左焦点为,联想椭圆轨迹定义,有,
∴若定圆的圆心与点重合,定圆的半径为4时,则定圆满足题意.
∴定圆的方程为:.
核心考点
试题【(理)已知点是平面直角坐标系上的一个动点,点到直线的距离等于点到点的距离的2倍.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点,】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
⑴若点P(2,1)在椭圆上,求椭圆的方程;
⑵若存在过点A(1,0)的直线,使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上,求椭圆的焦距的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
(1)求线段PF的中点M的轨迹C2的方程;
(2)过点F的直线l与椭圆C1相交于点A、D,与曲线C2顺次相交于点B、C,当时,求直线l的方程.
A. | B. | C. | D. |
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