题目

题型：不详难度：来源：

设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F₁，过点P(3,4)和F₁作直线PF₁交椭圆于A，B两点，已知A(，)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点C是椭圆E上到直线PF₁距离最远的点，求C点的坐标．

答案

（1）＋x²＝1   （2）(，－)

解析

(1)由A(，)和P(3,4)可求直线PF₁的方程为y＝x＋1．
令x＝0，得y＝1，即c＝1．
椭圆E的焦点为F₁(0,1)，F₂(0，－1)，由椭圆的定义可知．
2a＝|AF₁|＋|AF₂|
＝＋＝2．
∴a＝，b＝1，
所以椭圆E的方程为＋x²＝1．
(2)设与直线PF₁平行的直线l：y＝x＋m．
，消去y得3x²＋2mx＋m²－2＝0，
Δ＝(2m)²－4×3×(m²－2)＝0，
即m²＝3，∴m＝±．
要使点C到直线PF₁的距离最远，则直线l要在直线PF₁的下方，所以m＝－．
此时直线l与椭圆E的切点坐标为(，－)，故C(，－)即为所求．