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题目
题型:不详难度:来源:
已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N*),直线4x-3y-16=0过椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点,且被圆C所截得的弦长为,点A(3,1)在椭圆E上.
(1)求m的值及椭圆E的方程;
(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求·的取值范围.
答案
(1)m=4  =1
(2)[-12,0]
解析
(1)因为直线4x-3y-16=0被圆C所截得的弦长为,所以圆心C(4,m)到直线4x-3y-16=0的距离为
,解得m=4或m=-4(舍去).
又直线4x-3y-16=0过椭圆E的右焦点,所以椭圆E的右焦点F2的坐标为(4,0),则其左焦点F1的坐标为(-4,0).
因为椭圆E过A点,所以|AF1|+|AF2|=2a,
所以2a=5=6,所以a=3,a2=18,b2=2,
故椭圆E的方程为=1.
(2)由(1)知C(4,4),又A(3,1),所以=(1,3),设Q(x,y),则=(x-3,y-1),则·=x+3y-6.令x+3y=n,
则由,消去x得18y2-6ny+n2-18=0.
因为直线x+3y=n与椭圆E有公共点,
所以Δ=(-6n)2-4×18×(n2-18)≥0,
解得-6≤n≤6,故·=x+3y-6的取值范围为[-12,0].
核心考点
试题【已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N*),直线4x-3y-16=0过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点,且被圆C所截得的弦长为,点A】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F1,F2之间的距离为2,椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C的右顶点为A,直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且满足AM⊥AN.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
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若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数是(  )
A.至多为1B.2C.1D.0

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已知椭圆C的两焦点分别为,长轴长为6,
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.
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(本小题满分12分)如图,椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直,且OM(O是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.

(1)求椭圆的离心率;
(2)过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q,若的面积是 ,求此时椭圆的方程.
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已知椭圆,则以点为中点的弦所在直线方程为(      ).
A.B.
C.D.

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