题目

题型：不详难度：来源：

如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值。

答案

（1）；（2）4.

解析

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、勾股定理、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先通过对称性得到B点坐标，利用两点间距离公式得的3个边长，利用勾股定理列出关系式，化简出离心率e的值；第二问，利用第一问知是边长为a的正三角形，利用三角形面积，得到a的值，从而得到b和c的值，由于，所以圆是以为圆心，为半径，则可直接写出圆的方程，因为点p到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，所以利用点到直线的距离公式计算即可.
试题解析：（1）
由及勾股定理可知，即
因为，所以，解得
（2）由（1）可知是边长为的正三角形，所以
解得
由可知直角三角形的外接圆以为圆心，半径
即点在圆上，
因为圆心到直线的距离为
故该圆与直线相切，所以点到直线的最大距离为