题目

题型：江西省同步题难度：来源：

已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为，A（﹣a，0），
B（0，b），且△ABF的面积为，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若 ≤·≤，求k的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）∵离心率为，
∴a=2c，b=c．
  ∵△ABF的面积为，
∴，
∴c=1
∴a=2，
∴
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，
设方程为y=k（x﹣1）与联立，
消元可得（3+4k²）x²﹣8k²x+4k²﹣12=0
设M（，），N（x₂，y₂），
则+x₂=，
∴y₂=k²（﹣1）（x₂﹣1）=
∴
=x₂+2（+x₂）+4+y₂=
∵≤≤，
∴≤≤
∴
∴或
∴k的取值范围是．